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Los humanos no somos muy buenos calculando o dándole sentido a la probabilidad de eventos inciertos, una observación que ha sido demostrada una y otra vez en el contexto de entender qué tan racionales somos como agentes económicos. Por eso, llenar el Album Panini del Mundial de Fútbol no sólo es la manera perfecta de empezar a sintonizarme con el sentimiento del torneo, sino además un ejercicio excelente para demostrar que tan afinada está mi intuición probabilística.

Ya en mi entrada anterior había expuesto mi estrategia para llenar el álbum. En esta entrada comparto tres preguntas que son fáciles de entender pero que pueden ser un poco más complejas a la hora de resolverlas. En cada una hice un estimado antes de hacer el cálculo exacto para ver que acertada estaba mi intuición, pero en todos los casos subestimé bastante la dinámica aleatoria que tiene llenar el álbum.

1. ¿Cuántos sobres voy a abrir antes que salga la primera lámina repetida?

Mi intuición me decía que sería después de abrir unos 10-15 sobres. Mi recuerdo era que uno abría muchos sobres con gran emoción hasta que después de un buen rato llegaba una monita repetida que estropeaba la buena racha. Pero este año le puse cuidado a los sobres que compré ¡y resulto que la primera repetida salió en el sexto sobre!

Haciendo el cálculo matemático exacto, resulta que esa observación es apenas normal: más o menos uno debe esperar que después de abrir 7 sobres aparece la primera lámina repetida.

2. ¿Cuántos sobres voy a abrir antes que me salga uno cuyas cinco láminas ya las tenga?

El sentimiento de frustración de abrir un sobre cuyas cinco monitas salgan repetidas con las que uno ya tiene es indescriptible. Es una mezcla entre indignación y asombro, como si Panini de alguna manera hubiera logrado encontrar una sofisticada manera de robarnos. Mi intuición era que un evento traumático como ese debería ser extraño, posiblemente algo que ocurría después de estar bien avanzado en la colección, tal vez con más del 75% del álbum completo, es decir después de unas 500 monitas. Este año cuando hice el experimento real me llegó el fatídico momento mucho antes, cuando llevaba tan solo 355 monitas.

El cálculo matemático me ratifico que mi intuición me estaba confundiendo: Se puede pronosticar que en promedio después de haber abierto unos 74 sobres, esto es un total de 370 monitas, va a salir uno en el que las cinco láminas ya las tenga uno.

3. Si uno no intercambia láminas, ¿cuántas se tienen que comprar para completar el álbum?

Tener intuición sobre esta pregunta es aun más difícil porque creo que ni a mi ni a nadie se le ha pasado por la cabeza no intercambiar monitas cuando se está llenando el álbum. Tratando de responderla sin hacer ningún cálculo, estimaba que tal vez se necesitaban dos o tres veces el número total de láminas en el álbum, esto es entre 1,200 y 2,000.

Ahora, aunque estoy convencido de las virtudes de hacer pruebas experimentales reales no estoy dispuesto a gastar dinero en quien sabe cuantos sobres de láminas para demostrar este punto. Por eso preferí hacer una simulación en el computador, en donde puedo llenar tantos álbumes virtuales como quiera y puedo calibrar mejor mi percepción del problema.

La figura de abajo muestra el resultado de simular 1,000 álbumes, cada uno de 680 láminas. En el eje X está el número de sobres que se han comprado (cada uno con cinco monitas diferentes entre ellas) y en el eje Y está el número de láminas que faltan para completar el álbum. Cada una de las líneas de colores corresponde al proceso de llenar un álbum sin hacer intercambios. ¡Atención que la escala en el eje Y es logarítmica!

Cuando no se ha abierto ningún sobre, faltan las 680 láminas, y por eso todas las lineas comienzan en la esquina superior izquierda, sin embargo a partir de ese punto cada álbum tiene su propia evolución con los sobres que le van correspondiendo. Después de abrir unos 140 sobres (para un total de 700 monitas, un poco más de las que tiene todo el álbum), aun faltan 250 láminas para completar el álbum. Y aún llegando a los 400 sobres abiertos vemos que a todos los álbumes simulados les faltan entre 25 y 50 láminas. Sólo es después de 565 sobres que vemos al primer álbum con todas las láminas, pero claramente ese fue un caso excepcional de suerte: en promedio los álbumes simulados necesitaron 972 sobres (unas 4,860 láminas) para ser completados. En la figura se logran ver a un par de desdichados que necesitaron más de 1,400 sobres, el menos afortunado requiriendo 8,915 monitas.

Es posible hacer el cálculo exacto para responder a esta pregunta sin necesidad de hacer una simulación en computador. Las matemáticas que se requieren son un tanto sofisticadas si uno quiere modelar correctamente lo que Panini llama el proceso “fifimatico” y que usa para asignar aleatoriamente las cinco láminas que van a cada sobre, garantizando que no hay repetidas entre ellas. Si uno relaja ese supuesto y asume que pueden haber repetidas en el mismo sobre, las matemática se simplifican y se puede encontrar fácilmente una fórmula cerrada que pronostica en promedio 4,844 monitas para llenar el álbum si no se hacen intercambios.

Pero ¿qué ocurre en el caso un poco más realista en el que se permitan intercambios con un grupo de amigos? Ese resultado lo discutiré en otra ocasión, así como los detalles de las matemáticas de esta entrada.