Algoritmos, Estabilidad y Comunicación: Recordando al Gran Nick Higham

Con gran pesar, la comunidad matemática ha despedido recientemente a Nick Higham, un gigante del análisis numérico cuya partida nos deja un legado imborrable. En mi último ensayo he recogido reflexiones sobre su vida y su impactante obra, una modesta celebración de su extraordinario aporte al conocimiento y su influencia perdurable. Foto por Phil Trinh.

En el vasto dominio del conocimiento, hay un territorio donde la ciencia y la ingeniería se encuentran con las matemáticas y la computación. Es un territorio que quizás resulte extraño para la mayoría, pero del cual todos, en algún grado, intuimos su existencia. Después de todo, es bien sabido que físicos, químicos, ingenieros y economistas, en algún punto, transcriben sus teorías y soluciones al lenguaje matemático y que, de alguna manera, las computadoras se encargan de resolver esas ecuaciones. No somos tan ingenuos como para creer que las pizarras llenas de garabatos en tiza blanca que aparecen en las películas representan el fin del camino.

Sin embargo, la transformación de una formulación matemática en resultados numéricos procesados por las máquinas requiere de un paso intermedio esencial: la creación de algoritmos. Estos son procedimientos sistemáticos que abordan un problema específico —ya sea una ecuación diferencial, una optimización no lineal o el cálculo del espectro de una matriz— y lo descomponen en una serie de operaciones que un ordenador puede ejecutar para encontrar la solución.

Los analistas numéricos son los arquitectos que diseñan y analizan estos algoritmos. Su arte y su orgullo residen en concebir procedimientos que ofrecen soluciones con la rapidez de un rayo y con la más alta precisión. Por más de siete décadas, estos especialistas han sido los maestros y artífices de los algoritmos que han impulsado la revolución de la informática y la computación. Su impacto abarca todas las disciplinas de la ciencia y la ingeniería; desde resolver sistemas de ecuaciones lineales hasta construir poderosos modelos de aprendizaje automático e inteligencia artificial, su legado ha sido monumental. El campo del análisis numérico es vasto, con miles de matemáticos dedicados a su progreso. A lo largo de los años, hemos sido testigos del surgimiento de figuras eminentes que han llevado la disciplina a nuevos niveles y han desvelado horizontes previamente ocultos — figuras como Cornelius Lanczos, Isaac Schoenberg, Alston Householder, Leslie Fox, Jim Wilkinson, Gene Golub, Germund Dahlquist, Michael Powell y Steven Orszag.

El pasado 20 de enero, la comunidad de analistas numéricos se despidió de uno de los gigantes del campo, el profesor Nicholas Higham, quien falleció a la edad de 62 años, dejando una notable ausencia en el panteón de los grandes matemáticos.

Nicholas John Higham, oriundo de Salford en el condado de Manchester, dedicó su vida y carrera a esta región de Inglaterra. Se distinguió en la Universidad de Manchester, donde cursó su carrera, desde sus estudios de pregrado hasta el doctorado, y donde más tarde ejerció como profesor. Su prolífica producción matemática queda atestiguada por los más de 200 artículos especializados y cinco libros que escribió, así como por las incontables charlas en conferencias internacionales que presentó alrededor de todo el mundo. Contribuyó significativamente a las bibliotecas de software LAPACK y NAG, desarrolló múltiples módulos de álgebra lineal numérica para MATLAB y sus algoritmos han sido integrados en otros lenguajes de programación como Julia, SciPy y Mathematica. A lo largo de su carrera, guió a más de 20 estudiantes de doctorado y 30 de maestría, colaboró en diversas juntas editoriales de revistas matemáticas y ocupó la presidencia de la Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM).

La obra de Nick ha sido citada más de 30,000 veces, según Google Scholar, y su trayectoria de investigación ha sido reconocida con una sucesión de premios, desde el reconocimiento por su tesis doctoral con el Premio Householder de 1987, hasta la distinguida Medalla de Oro del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones en 2020. Fue honrado con membresías en sociedades matemáticas e ingeniería de renombre, como la Royal Society (FRS), SIAM y la ACM. Desde 1998, ostentó la Cátedra Richardson de Matemáticas Aplicadas en la Universidad de Manchester y en 2018, la Royal Society le confirió la prestigiosa “Research Fellowship”.

Conocí a Nick en el verano de 2007, en una recepción ofrecida por mi supervisor de doctorado a los finalistas de ese año al premio Leslie Fox de Análisis Numérico. Hasta ese momento, mi conocimiento de él se limitaba a su renombre académico y a ser uno de los colaboradores del grupo de investigación de Oxford. Su presencia era imponente: un hombre de estatura y porte, siempre impecable en traje y corbata, emanando formalidad y calidez a partes iguales, y con un intelecto que destacaba incluso entre un círculo de matemáticos geniales. Después de aquel encuentro lo habré visto una docena de veces, en conferencias o durante sus visitas a Oxford; la última vez fue el año pasado, durante una presentación de su más reciente trabajo sobre matrices bidiagonales.

Aunque me topé con él tantas veces, solo fue en una ocasión en la que interactué con él más extensamente. Fue en 2009, cuando accedió con generosidad a ofrecer una charla en la conferencia anual del capítulo de estudiantes de la SIAM que yo había ayudado a fundar. Como organizador de esa conferencia, coordiné su viaje desde Manchester y me aseguré de que todo estuviera preparado para su presentación. Su charla fue sobre las matemáticas de la fotografía digital, un tema en el que su entusiasmo era evidente. Resulta que, detrás del aura de ese matemático virtuoso, Nick tenía una sensibilidad por el arte de la fotografía, y durante esa charla nos compartió muchas de sus propias fotos a la vez que revelaba a su audiencia las matemáticas recónditas de este arte, desde las diferentes transformaciones algebraicas entre paletas de colores hasta las ecuaciones en derivadas parciales que los programas de edición utilizan para corregir imágenes desenfocadas.

Durante una de las pausas para tomar café, hablé con él sobre mi propio proyecto de doctorado, lo cual dio pie a un breve intercambio de correos posteriores al evento. Lamento no haber cultivado más ese contacto; a menudo, la timidez frente a nuestras figuras de admiración nos paraliza, nos escondemos para no hacer tan evidente nuestra torpeza. Lo cual es una pena, porque Nick – como tantos otros grandes matemáticos – era amable y receptivo con estudiantes de investigación, feliz de poder apoyar a otros que estén caminando por los caminos que ellos ayudaron a abrir.

Los seres queridos, amigos y colegas de Nick podrán seguramente relatar con riqueza de detalles las facetas más íntimas de su vida y brindar una perspectiva justa y cabal de su vasta obra. Aunque su área de investigación no coincida exactamente con la mía, mi familiaridad con sus publicaciones y ciertos aspectos de su trabajo, en mi rol de analista numérico, me permite destacar tres contribuciones suyas que considero especialmente relevantes.

La primera es la estabilidad numérica, que se ocupa de cómo los errores se propagan a través de los cálculos numéricos. Esta es clave para determinar la utilidad de un algoritmo, pues uno que magnifique los errores hasta hacer irreconocible la solución final es, en esencia, inútil. Este concepto, que puede ser formulado con rigor matemático, también admite una explicación intuitiva: un algoritmo es numéricamente estable si variaciones menores en los datos de entrada o durante el proceso computacional se traducen en desviaciones igualmente menores en el resultado.

Podemos encontrar un paralelismo en la cocina: una receta es "estable" si, al variar un poco la cantidad de sal o el tiempo de cocción, el platillo sigue siendo sabroso. Es decir, pequeñas alteraciones en los pasos o ingredientes no echan a perder el resultado final, sino que producen algo muy similar a lo esperado. Por experiencia propia, diría que sopas y pastas son más "estables" en términos culinarios que los soufflés y la pastelería.

La aparente imprecisión de los algoritmos numéricos y su necesidad de análisis de estabilidad puede sorprender a quienes están fuera del campo matemático y hasta provocar disconformidad entre los matemáticos más puristas. Sin embargo, es un hecho que el mundo está repleto de errores y, sin su estudio minucioso, sería imposible lograr avances concretos en cualquier disciplina científica.

El estudio de la estabilidad de los algoritmos tiene una historia extensa y venerable, que se extiende por varias décadas y ha involucrado a matemáticos de la talla de John von Neumann y Alan Turing. Nick se inscribió en esa noble tradición y emergió como uno de los máximos expertos a nivel global. Su obra "Accuracy and Stability of Numerical Algorithms" se ha convertido en el texto definitivo del campo, y todo indica que continuará siéndolo por muchas décadas más, gracias a su habilidad para infundir claridad y contemporaneidad a un tema que podría parecer denso y árido. Entre sus numerosas aportaciones al campo de la estabilidad numérica, la que más influyó en mi investigación doctoral fue su demostración de que la fórmula baricéntrica de interpolación es estable hacia adelante cuando se utiliza una malla de puntos con una pequeña constante de Lebesgue — un hallazgo esencial para el proyecto Chebfun, en el que tuve el placer de trabajar.

Sin embargo, el trabajo de Nick que llegué a conocer más profundamente fue una serie de algoritmos que propuso para abordar un problema en finanzas. Según nos contó en una conferencia, a principios del milenio un administrador de fondos le presentó un dilema específico: ¿cómo se podría calcular la matriz de correlación más cercana a partir de una matriz simétrica dada? La matriz de correlación, un componente crítico para el análisis financiero, es un conjunto de datos que mide la interrelación entre diferentes activos en un portafolio. Por ejemplo, la matriz del S&P 500 es un arreglo bidimensional de 500 x 500, donde cada fila y columna representan las interdependencias entre los rendimientos de las 500 empresas más grandes de Estados Unidos. Una fila dedicada a una empresa como Microsoft reflejaría sus correlaciones con IBM, Apple, Tesla y las otras 496 compañías que también hacen parte de ese índice bursátil. La precisión de esta matriz es esencial para las predicciones de riesgo y rendimiento en la gestión de inversiones.

Aunque teóricamente la construcción de esta matriz debe ser rigurosa, en la práctica, los gestores de fondos ajustan a menudo las correlaciones de manera arbitraria, lo que puede desvirtuar las propiedades matemáticas requeridas de una matriz de correlación genuina. Modificar solo ciertos valores, como las correlaciones de Microsoft con ciertas empresas, podría generar resultados técnicamente inviables. La tarea era, entonces, encontrar un método numérico que mantuviera la integridad de la matriz de correlación y que, a su vez, reflejara lo más fielmente posible la realidad deseada.

Las finanzas no eran la especialidad de Nick, pero su dominio del álgebra lineal numérica lo convirtió en el candidato ideal para este reto. En 2002, publicó un trabajo pionero, "Computing the Nearest Correlation Matrix – A Problem from Finance", que no solo definía meticulosamente el problema sino que también ofrecía un algoritmo de proyecciones alternantes capaz de converger a la solución ideal. Este artículo se convirtió en uno de los más referenciados de su carrera, con más de mil citas en Google Scholar. Nick siguió perfeccionando su investigación en este campo durante las siguientes dos décadas, con publicaciones que ampliaron considerablemente el alcance de su trabajo. Pero como suele ocurrir en el mundo de las matemáticas, lo que comenzó siendo una aplicación en finanzas se extendió a muchas otras áreas. Sus algoritmos para encontrar la matriz de correlación más cercana son ahora usados en campos tan diversos como el cambio climático, la ingeniería genética, la ingeniería estructural y la hidrología.

El último aspecto que deseo destacar de la obra de Nick es el estético. Sus escritos irradian una claridad, nitidez y belleza que se encuentran raramente en el ámbito académico y son aún más escasas en el campo de las matemáticas. Cada frase y ecuación están esculpidas con diligencia, como si Nick emprendiera una búsqueda artesanal para destilar lo fundamentalmente significativo, liberando al lector de la bruma de confusiones o de adornos superfluos, permitiéndole comprender sus ideas con facilidad. Tal era su meticulosa atención al detalle que fue él quien escribió el "SIAM Style Manual", un manual para los editores de los miles de artículos académicos que publica cada año esa sociedad de matemáticos.

Ese mismo esmero lo imprimía a sus charlas, que siempre eran fascinantes y reveladoras, sin importar qué tan complejo fuera el material. O incluso qué tan mundano: en una ocasión asistí a una charla que él dio a estudiantes de posgrado sobre el tema "La transición de la universidad al trabajo". Lo que típicamente sería una presentación de vocación profesional rutinaria, se convirtió en sus manos en una detallada, entretenida y tremendamente práctica exposición de cómo avanzar en una carrera de investigación.

La obra de Nick Higham es extensa y profunda, y su legado impacta en múltiples disciplinas. En estos días he vuelto a revisar sus libros y artículos, y me maravillo ante la magnitud de lo que una mente genial como la de él pudo lograr en cuatro décadas de carrera. Su página personal en la Universidad de Manchester es un tesoro de su labor, con amplio acceso a sus trabajos, presentaciones y códigos de computador, todo prístinamente organizado. Mientras la navegaba, caí en cuenta de que Nick había estado escribiendo un estupendo blog durante una década, tocando temas interesantísimos de matemáticas. Me perdí durante horas en un sinfín de sus entradas, recorriéndolas de atrás para adelante. Cuando llegué finalmente a la primera que escribió, el primero de enero de 2013, no pude evitar sonreír: era una corta reseña que invitaba a leer un libro que escribió mi supervisor de doctorado y del que orgullosamente fui corrector de pruebas.

Nick Higham fue un verdadero campeón de los algoritmos y el análisis numérico. Aunque nos dejó prematuramente, su obra permanece como una celebración de su vida y un estímulo para las futuras generaciones de matemáticos que buscan expandir los horizontes del conocimiento.

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