Aproximaciones a la Realidad​

Cuando escribí mi entrada anterior, pensaba que las críticas a la racionalidad que había escuchado algunas semanas atrás en una conferencia de Filosofía eran solo algunas de las opiniones extremas de algunos profesores que operan al margen de la academia. Pero estaba equivocado. Después de pasar un tiempo aprendiendo más sobre este tema y discutiéndolo con otras personas, me di cuenta de que tales puntos de vista son ahora lugar común, mientras que hacerle barra a la racionalidad parece ser cosa de pocos.

Lee mi publicación anterior sobre este tema en el siguiente enlace: Un hombre te dice que sabe la verdad exacta.

Las ciencias empíricas se encuentran en un periodo de intenso escrutinio y establecer su papel en nuestro mundo, y en nuestras vidas, puede llegar a ser una de las preguntas más críticas en este siglo. Siempre di por sentado que la “revolución científica” que comenzó hace cuatro siglos seguiría acelerándose, una percepción que coincide con el auge actual de la producción científica y la fascinación por la educación STEM.

Pero si cada vez más personas se sienten desilusionadas con el paradigma del conocimiento basado en la indagación racional y el método científico, puede ser que estemos sentando las bases para construir una sociedad en la que las respuestas proporcionadas por la ciencia tengan el mismo peso que las obtenidas con un enfoque no científico. Y esto no debería ser un problema, siempre y cuando los asuntos en los que la no-ciencia tenga la última palabra sean aquellos que se encuentran fuera de los límites de la ciencia. Pero, ¿alguien se atreve a proponer una demarcación clara entre los dos acercamiento? Yo diría que la religión, por ejemplo, está claramente fuera del alcance de las ciencias, pero digámosle eso a Richard Dawkins o Peter Atkins.

Parece que la “incompletitud” en las ciencias exactas frustra a algunas personas, mientras que la arrogancia de la comunidad científica irrita a muchos más. Aún no estoy listo para decir nada sobre este segundo punto, ya que no identifico la arrogancia como una insignia exclusiva de los científicos: abogados, arquitectos e historiadores muestran, en mi opinión, el mismo sentido de superioridad que los físicos, biólogos o geologos. Pero reflexionando sobre el otro punto, sobre la incompletitud de las ciencias, encontré una metáfora que puede arrojar algo de luz sobre este problema, una metáfora que tiene su origen en uno de mis resultados favoritos en Matemáticas: el Teorema de aproximación de Weierstrass.

Atenas y Jerusalem

Hace algún tiempo, mi amigo Daniel Andrés Díaz escribió una excelente entrada en su blog sobre los límites del conocimiento obtenido a través de la razón, enfatizando las deficiencias intrínsecas del razonamiento inductivo para alcanzar la comprensión plena de nuestro Universo. Por ejemplo, las ciencias empíricas nunca son 100% confiables y se basan en métodos estadísticos y en el lenguaje de la probabilidad para configurar nuestra confianza en torno a la incertidumbre. Pero el problema de la incompletitud va más allá de la limitación de nuestros dispositivos de medición: no importa qué tan bien calibrado esté tu equipo, el principio de incertidumbre de Heisenberg te dice que el conocimiento de la posición de una partícula te impide conocer su momento. Siempre y en todos lados.

Y estas restricciones epistemológicas ni siquiera son exclusivas del mundo físico: los teoremas de incompletitud de Gödel muestran con perfecto rigor lógico que es imposible encontrar un conjunto completo y coherente de axiomas para todas las matemáticas (un asunto que merece su propia entrada en este blog).

Puede que me esté equivocando, pero el elemento que parece unificar estas deficiencias percibidas en la ciencia es la naturaleza misma del material que estamos utilizando para alcanzar lo que es el Todo y lo cubre Todo. Desde la finitud de nuestras mentes, y nuestro razonamiento, y nuestro universo material, ¿qué esperanza podemos tener para responder preguntas sobre el infinito y aquello que va más allá de nuestro Universo? Este argumento es crítico, y uno con el que Jorge Luis Borges juguetea en su cuento “Del Rigor en la Ciencia”, yuxtaponiendo las limitaciones inherentes de algunos mapas, construidos por unos cartógrafos locos, para lograr una representación fideligna del Imperio (ese Imperio que nihil maius cogitari possit, para hacer la tarea verdaderamente imposible).

Reconstruyendo la realidad

Uno podría identificar que el insuperable abismo entre la ciencia y la realidad surge de la naturaleza de la primera, siendo solo un subconjunto propio de la segunda. Las herramientas y los procedimientos que brindan las ciencias están contenidos en la realidad, pero claramente no se corresponden con toda la realidad, y tal vez necesitamos salir de la ciencia para compensar la diferencia. Esta deficiencia no es exclusiva de las ciencias, por supuesto, y el lenguaje, la literatura y las artes enfrentan las mismas limitaciones. Tal vez la moraleja de la historia es que necesitas de toda la realidad para tener aunque sea un chance de conocer la realidad, y por lo tanto estamos condenados para siempre a un conocimiento incompleto.

Sin embargo, yo pienso algo diferente. Yo creo que solo utilizando fragmentos del Todo, uno tiene la posibilidad de reconstruir el Todo; y que esta realidad sintética es indistinguible de la realidad. Esta noción tiene sus raíces en una pregunta fundamental de las matemáticas, que trata de las capacidades que tienen ciertos subespacios, contenidos en un Universo, para aproximar cualquier objeto en el Universo.

Para ilustrar este punto, pensemos por un momento en el Universo de todos los tipos posibles de alimentos: verduras, frijoles y legumbres; carnes magras y aves de corral y pescado; huevos, tofu, nueces y semillas; cereales, leche, helados y galletas; cerveza, whisky y tequila. Piensa en el desayuno que tomas todos los días, y en los insectos exóticos que comiste en tu último viaje a México. Piensa en sushi y pizza, chocolate y vainilla, haggis y ajiaco.

Ahora, escojamos un tipo específico de alimento, digamos, por ejemplo, frutas, y hagamos las siguientes preguntas: ¿En qué medida podemos usar las frutas para reemplazar otros tipos de alimentos? ¿Hasta qué punto podemos usar manzanas, peras, plátanos, fresas y todos los “productos dulces y carnosos de árboles u otras plantas que contienen semillas y que pueden comerse como alimentos”, para recrear recetas que utilizan una variedad de otros ingredientes?

De nuestra experiencia en la cocina, las respuestas a estas preguntas son bastante obvias, ya que es bastante intuitivo que no puedes reproducir el sabor de un filete de solomillo con un racimo de uvas y limones. Pero, ¿te imaginas lo sorprendente que sería si alguien afirmara que, al combinar frutas, puedes en verdad replicar cualquier alimento? Y para ser más controversial, que puedes replicarlo “con cualquier grado de precisión”, lo que significa que siempre puedes modificar un poco la receta que usa solo frutas para hacer que los sabores, las texturas y los valores nutricionales de la comida sean indistinguibles de los que obtendrías si usaras la lista de ingredientes no frutales.

En 1885, Karl Weierstrass hizo justo eso cuando sorprendió a la comunidad matemática al anunciar que los polinomios, un tipo de función continua humilde y deliciosa, que bien podría cumplir el papel de los frutas de las matemáticas, podrían aproximar con cualquier grado de precisión a cualquier función continua, incluso las más patológicas. El resultado de Weierstrass envió ondas sísmicas en todas las direcciones y podría considerarse como el punto de inicio formal de lo que se conoce como Teoría de la Aproximación, una rama bien establecida del Análisis Matemático.

Incluso las más patológicas

Todo el mundo debería estar enamorado de los polinomios. Son las funciones más agradables y de mejor comportamiento que uno pueda imaginar. Son más suaves que la seda, extremadamente versátiles y muy agradables para trabajar. Mis primos en las Matemáticas Teóricas los usan para construir anillos polinomiales y variedades algebraicas, pero yo prefiero usarlos para propósitos computacionales, como materia prima para una gran cantidad de algoritmos hermosos. Teje secuencias de polinomios, entrelazándolos en ángulos rectos, y formarás familias de polinomios ortogonales, telas exquisitas pero fuertes, que me han sabido hipnotizar durante una década. Lamentablemente, lo único se aprende en la escuela sobre los polinomios, y que algunos adultos aún pueden recordar, es esa horrible rima de guardería: “menos b más o menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos cuatro a c, todo sobre dos a”.

Pero la realidad no son las familias de los polinomios. El Universo (ese Imperio que se extiende en todas las direcciones), sería el espacio de funciones continuas, de las cuales los polinomios son solo un pequeña comarca. La idea intuitiva de una función continua es que es “una función cuya gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel”, una descripción que seguramente estaba en la mente de los matemáticos XVI y XVII, y hoy en día en la mente de los estudiantes de secundaria aprendiendo cálculo. Pero con el programa para formalizar las matemáticas que comenzó Cauchy, y luego continuaron sus seguidores, esta vaga descripción fue reemplazada por una caracterización técnica de lo que significa ser continuo. Con esta maquinaria más potente y precisa, los matemáticos vieron frente a ellos un vasto paisaje de infinitas posibilidades, y se lanzaron a las tierras salvajes para explorar cada rincón del Universo de funciones continuas.

No puedo decir con precisión la fecha en que los matemáticos hicieron el primer contacto con las funciones patológicas y monstruosas. ¿Fue acaso Bolzano en la década de 1830? ¿O Riemann en la década de 1860? En cualquier caso, las criaturas que encontraron (o quizás más precisamente, que diseñaron), mostraron los comportamientos más extravagantes, haciendo que algunos dudaran de la sabiduría de seguir este camino de intelectualismo que abria la puerta a objetos que desafiaban el sentido común y resultaban estúpidamente inútiles. Pero fue en 1874 cuando nuestro héroe, Karl Weierstrass, presentó a la comunidad el espécimen más extraño conocido hasta esa fecha: una función continua en todas partes, pero no diferenciable en ninguna parte. Esta era una función que, en teoría, se podía dibujar sin levantar el lápiz del papel, pero que en cada punto daba un giro brusco y agresivo. Y cuando digo “en cada punto”, realmente lo digo en serio: en cada uno de los puntos, del infinito número de puntos en el continuo (inifinito de tamaño “dos a la aleph sub-cero”), la dirección cambia abruptamente de dirección pero manteniendo siempre el contacto del lápiz con el papel. Si quieres tener una idea de lo que se debe sentir dibujar tal función, piensa por un momento que eres Jack Nicholson en el manicomio de la película “Alguien voló sobre el nido del cuco”, y usa un lápiz para rayar un pedazo de papel tan violentamente como puedas.

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Ahora podemos apreciar mejor el resultado de Weierstrass de 1885. Desafiando la intuición y el sentido común, Weierstrass demostró que al usar nuestros queridos polinomios, educados y corteses, se podría aproximar, con el grado de precisión que quieras, incluso a la bestia que el mismo había creado una década atrás. Dime la precisión más exigente que quieras, el margen de error más pequeño que ni siquiera los dioses podrían ver, el épsilon que converte cualquier brecha en polvo: siempre podrás encontrar un polinomio que estará así de cerca de estas funciones de locura.

Una prueba de que el resultado de Weierstrass fue un clásico instantáneo es que durante los siguientes treinta años, los matemáticos más destacados de principios del siglo XX presentaron al menos trece pruebas alternativas. Y aunque el teorema no se aplica a las frutas y los alimentos, ciertamente se ha extendido en todas las direcciones posibles dentro de Matemáticas: en 1937, Marshall Stone llevó el resultado de Weierstrass a nuevas alturas cuando lo generalizó a espacios compactos de Hausdorff, y en 1951,  Sergei Mergelyan lo demostró para funciones en el plano complejo tras una verdadera hazaña de fortaleza y resistencia

Realidad Redux

Las funciones patológicas podrían haber parecido monstruos cuando se descubrieron, pero en el siglo XX se convirtieron en un pilar de la ciencia y las matemáticas. En mi propio trabajo, puedo pensar en al menos tres ejemplos de funciones continuas con comportamiento errático local: el movimiento browniano, los fractales y las onditas. No recomendaría el uso de polinomios para modelar ninguno de ellos, ya que existen herramientas más adecuadas para hacerlo, sin embargo, ese no es el punto que quiero hacer aquí. Mi argumento es que el resultado de Weierstrass sirve como metáfora de una manera de hacer frente a esa brecha que existe entre la escala cósmica del Todo y un conjunto disperso de sus elementos, que a todas luces parece minúsculos en comparación con el Todo.

Nuestro conocimiento de nosotros mismos y del Universo puede parecer incompleto cuando insistimos en que la realidad solo se logra cuando el error es exactamente cero, y nos razgamos las vestiduras cuando nos enfrentamos a las perspectivas de cualquier otra alternativa. Pero, de hecho, lo que estamos haciendo (lo que hemos estado haciendo durante siglos) es cerrar el abismo, avanzando un paso a la vez hacia la Verdad.

La incompletitud que pueda existir después de nuestro lento progreso no me molesta. Ese vacio es solo una fantasía, que usamos para castigarnos a nosotros mismos por no ser perfectos. Porque esa comprensión tal vez torpe del Universo, que estamos creando a través del lenguaje, la ciencia, las matemáticas y las artes, es una aproximación más válida y profunda que cualquier ideal platónico, por siempre más allá de nuestro alcance. La sucesión de pasos que damos nos permiten lograr una comprensión cada vez más nítida y refinada de la realidad, y que solo el miedo puede impedirnos en aceptar con entusiasmo.

Quizás sea más poderoso que todo eso: la realidad aproximada es la realidad misma.

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