Lo que Atiyah dijo (y no dijo) de la Hipótesis de Riemann

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Después de varios días de suspenso, finalmente tuvimos la oportunidad de ver la demostración de Sir Michael Atiyah de la Hipotesis de Riemann (HdR). Como dije en mi entrada anterior, hubo mucha emoción y expectativa durante los días previos a este evento, pero también un poco de escepticismo: aunque Atiyah es uno de los mejores matemáticos de nuestro tiempo, la HdR es un problema que ha eludido las mentes de los mejores matemáticos durante 160 años. Después de la charla de Atiyah, la emoción se ha ido desvaneciendo y el escepticismo ha crecido.

Como la HdR es un resultado muy profundo, envuelto en complejos tecnicismos, yo esperaba que la presentación fuera bastante densa, difícil de seguir y particularmente rápida. Después de todo, Atiyah estaba planeando demostrar el problema más difícil en matemáticas en tan solo 45 minutos, el mismo tiempo que yo mismo he agotado muchas veces para presentar resultados mucho más triviales. Sin embargo, la presentación fue exactamente lo contrario: fue alegre y ligera, con una larga discusión sobre la historia del problema, abundantes referencias al trabajo de otros matemáticos, e incluso la recomendación de una película.

Atiyah nos cuenta en su charla que tropezó con la HdR cuando estaba desarrollando un modelo para la constante de estructura fina, una constante física que Arnold Sommerfeld introdujo en 1916 cuando extendió el modelo del átomo de Bohr. También nos dice que el ingrediente clave en su modelo propuesto era la función de Todd, un “animal magnífico” que encontró en los escritos de John von Neumann. “Vale la pena estudiar esta función de Todd“, nos dice antes de lanzarse a enumerar algunas de sus propiedades, pero a juzgar por el papel que juega en la HdR, esto es algo que probablemente todos deberíamos hacer.

El problema es que si buscas “función de Todd” en Google no encontrarás demasiada información, entonces tienes que confiar en lo que Atiyah te está diciendo: que es una función L2 débilmente analítica, analítica en conjuntos compactos, y polinomial en conjuntos compactos convexos. Que está construida a partir de iteraciones infinitas de exponenciales y que transforma la ecuación de Euler a la ecuación de Euler-Hamilton para los cuaterniones. Fuera de eso no hay mucho más.

Y luego, en el minuto 36 vemos una diapositiva que contiene la prueba completa de la HdR: Suponiendo que hay un cero no alineado en la línea crítica (pero dentro de la banda crítica) y aplicando la función de Todd sobre la función zeta de Riemann, hacemos algunas manipulaciones simples, y voilà, llegamos a una contradicción. Le toma menos de cuatro minutos presentar la demostración completa. Atiyah confía que su resultado es correcto y respondió con un firme “sí” cuando le preguntaron si pensaba que su solución tenía el mérito de ganar el Premio del Milenio del Clay Mathematics Institute.

Parte del escepticismo en torno a la prueba de Atiyah se ha centrado en dos puntos irrelevantes: que la demostración es demasiado corta para un problema tan difícil y que parte de su trabajo reciente en otras áreas ha resultado ser incorrecto. Pero como cualquier matemático sabe, ni el número de renglones de una demostración, ni las credenciales de su autor, juegan papel alguno en la validez de un teorema. El verdadero escepticismo surge debido a la oscuridad de los pilares que sustentan su demostración, que parecen estar expuestos sólo en otros trabajos de él que aún no han sido publicados. Las propiedades que Atiyah presentó de las funciones de Todd son un tanto peculiares, pero lo que es más desconcertante es que no se puede encontrar ninguna mención de ellas, a pesar de que él diga que se encuentran en las obras de von Neumann de la década de 1930.

No es posible concluir que Atiyah demostró la HdR solo a partir de su charla, y por lo tanto es necesaria una presentación exhaustiva de su resultado, por ejemplo mediante una publicación. La noche antes de la charla comenzó a circular a través de correos electrónicos lo que parecía ser un pequeño borrador de un documento escrito por Atiyah sobre su demostración de la HdR, y que ahora se encuentra disponible en línea. Ciertamente contiene todo el material que él discutió durante la charla lo que hace pensar que él podría ser realmente el autor de ese texto.

Sin embargo, el problema con este borrador es que no se puede decir que es “oficial” en el sentido de que no se puede encontrar en una página web oficial de Atiyah, o en un repositorio acreditado de documentos como arXiv. Como tal, este es un documento que podría ser cualquier cosa, desde un borrador inicial del documento, hasta una nota no destinada a la distribución. Y esto es importante, porque ningún experto va a revisar o comentar un artículo sin saber si es real.

Es posible que, justo cuando escribo esta entrada, algunos árbitros de alguna revista especializada de alto perfil estén revisando el documento con la prueba de la HdR de Atiyah. Si este es el caso y aprueban el documento para su publicación, la comunidad matemática lo considerará como el sello de aprobación necesario y todos celebraremos el logro. Pero por otro lado, si tal documento es presentado pero rechazado y no aparece públicamente ninguna versión oficial, me temo que esta será la última vez que escuchemos algo de este episodio.

Desde el anuncio de la charla de Atiyah en Heidelberg hemos visto todo tipo de tweets, memes, publicaciones de Facebook y entradas de blog (como las mías) sobre él y sobre la HdR. Y también ha habido trolls burlándose de la integridad de Atiyah o atacando el espíritu del Heidelberg Laureate Forum, y voces condescendientes de personas que piensan que debido al respeto que merece el gran matemático deberíamos pasar la página de lo que ellos perciben fue un evento embarazoso. Todo esto, por supuesto, es solo el precio que se paga por hacer las cosas bajo el escrutinio público en estos tiempos superconectados en los que vivimos.

Personalmente, no creo que esto sea malo en absoluto. Ha sido maravilloso ver a miles de personas poniéndole atención a una historia que está alejada de las noticias usuales, hablando de matemáticas y tratando de entender un poco más de ese bello problema que es la Hipótesis de Riemann.

Una recomendación.

Siguiendo las dos recomendaciones de mi última entrada, me gustaría para agregar a la lista la “Función Zeta de Riemann” de Harlod Edwards, que se puede encontrar en una muy buena y económica edición de Dover. Este es un buen libro para cualquiera que haya tomado un curso de Análisis y quiera aprender un poco más de este tema.

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